数学解题与解题理论
一、解 题
解题就是“解决问题”，即求出问题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题也就是求出题的解.小至一个学生算出作业的答案、一个教师讲完定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论、一个数学技术用于工农业实际部门产生良好效益，都叫做解题.
我们说过，波利亚有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题”，在这里，“解题”近于“掌握数学”的同义语了.确实，数学工作者每日每时都离不开解题.
解题是数学工作者数学活动的基本形式；
解题是数学工作者数学活动的主要内容；
解题是数学工作者的一个存在目的；
解题是数学工作者的一个兴奋中心.
需要指出的是，现代兴起的“问题解决”（Problem solving）比传统意义上的“解题”有了很大的发展，传统意义的“解题”注重结果、注重答案，而现代意义的“问题解决”则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法.
一个学生拿到一道习题之后，通过翻看习题集的答案得到了解决，当然这个答案是正确的，但能否认为他解决了问题呢？从“问题解决”的观点看来，回答是否定的.同样，一个教师讲解一条几何定理时，没有任何知识的发生过程，小黑板一挂，辅助线作好了，证明和盘托出了，也是一个不成功的“解题”.
“问题解决”有不同的解释，比较典型的观点可归纳为4种：
1.问题解决是心理活动
指的是人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理办法的一种活动.
2.问题解决是一个过程
美国全国数学管理者大会（NCSM）在《21世纪的数学基础》（1988）中，把“问题解决”定义为“将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程”.这就是说，问题解决是一个发现的过程、探索的过程、创新的过程.
3.问题解决是一个目的
美国全国数学管理者大会（NCSM）在《21世纪的数学基础》中认为：“学习数学的主要目的在于问题解决”.因而，学习怎样解决问题就成为学习数学的根本原因.此时，问题解决就独立于特殊的问题，独立于一般过程或方法，也独立于数学的具体内容.
4.问题解决是一种能力
即那种把数学用之于各种情况的能力.美国全国数学管理者大会（NCSM）把解决问题的能力列为10项基本技能之首.重视问题解决能力的培养、发展问题解决的能力，其目的之一是，在这个充满疑问、有时连问题和答案都是不确定的世界里，学习生存的本领.
上述各种看法，在形式上似乎并不一致，但它们有本质上的共同点，即在教学中为学生提供了一个发现、创新的环境与机会，为教师提供了一条培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径.
二、解题理论
传统意义上的解题，把“题”作为考察的对象，把“解”作为研究的目的.在很多情况下，对“题”的关心，对“解”的追求，超过对“解题”本身的注意.那些精明的数学成果所告诉我们的只是：“应用了什么数学方法”、“得到了什么数学结论”.而我们困惑的却是：“怎样应用数学方法？”“如何发现数学结论？”
本书认为，解题理论研究的对象是“解题（活动）”，它的基本任务是研究解题规律、回答“怎样学会解题”，基本方法是“分析解题过程”.所以，本书所理解的数学解题学是，通过解题过程的分析去探索怎样学会解题的一门学问.本书将讨论解题观点、解题过程、解题方法、解题策略、习题理论等专题.其中，将体现系统方法论的思想，并进行解题坐标系的探索.
为了方便，我们先对本书的基本名词予以集中描述.
1.解题思想
指解题者意识里的解题根据和解题方法.作为方法，它是最高层次的解题方法.解题思想与知识的不同之处在于：解题思想是解题开始的思想，知识则是解题终端的思想.
2.解题观点
是指对“怎样解题”、“为什么这样解题”的整体认识.它既是数学思想在解题实践中的应用，又是教学思想在解题教学中的体现.
3.解题过程
指人们寻找问题解答的活动.它通常包括从拿到题目到完全解出的所有环节与每一步骤.
4．解题程序
经过规范化而成为可操作的解题过程，称为解题程序.它是解题思想的最终形式，也是思想与动作的连接点.
5.解题坐标系
这是建立数学解题理论的一个模型.反映了数学化研究解题的一个愿望.
6.解题技巧
解决个别具体数学问题的手段、途径叫做解题技巧.
7.解题方法
解题适应面较宽，可反复运用的解题技巧叫做解题方法.
8.解题原则
几乎对一切问题都适用的解题方法叫做解题原则，就整个解题过程来说，它介于解题思想与解题方法之间.
9.解题策略
为了实现解题目标而采取的指导方针,它体现了选择的机智与组合的艺术,与解题原则属于同一层次.
有了这些基本名词,我们可以描绘出本书解题理论的初步框架与核心内容. |
