解题是初等数学中一个极有生命力，极富独创性和充满诗情画意的工作.因此，数学解题的研究从来就是一个十分激动人心的课题.从基层工作者到前沿数学家都情不自禁地参与其中.尽管许多盲目的、重复性的工作能否称为研究很值得怀疑，但依然表现出健康的主流.
一、解题研究的健康主流
主要表现为6个方面：
1．数学方法论的理论研究受到了重视，得到了发展.
1980年出版的《中学数学教材教法》（总论）在指出“一些基本的数学思想和数学方法”也是“基本知识”时，批评说：“中学数学内容中的这些基本方法历来没有受到足够的重视，甚至连基本的总结也做得很不够……”这些权威教学法专家们的意见，基本上反映了1980年以前的情况.
但是，进入80年代之后，情况有了很大的改变.特别是在徐利治教授的倡导下，数学方法论的研究已经形成了一个影响全国的气候，郑毓信教授在《数学方法论》一书中有一段意味深长的开头：“数学方法论”现今对于我国数学界、特别是数学教育界已不是一个陌生的名称；然而，大多数人却未必知道，这只是一个在中国学术界得到广泛应用的名词，或者说，这在很大程度上即是一个由我国学者首先加以应用的名词.从有关材料看，徐利治教授在1980年出版的《浅谈数学方法论》中首先采用了这样一个名词.……
如今，数学方法论的研究已经得到了很大的发展，既诞生有高层次的专著，更出现大批普及型的书藉与文章.数学方法论或中学数学方法论已经成为师范院校研究生、本科生、专科生和教师进修的一门时髦课程，同时也成为中国学者在世界同行中引以自豪的一个学术特色.
2．波利亚学说的研究和传播
波利亚的《怎样解题》，早在40年代就曾有过中译本（周佐严译、中华书局出版），60年代初叶我国曾有人翻译《数学的发现》，但由于种种原因未能完成.现在，波利亚的名著《怎样解题》（1945年）、《数学与似真推理》（1954年）、《数学的发现》（1962年）等已经翻译发行.其中的解题观点正在成为许多同行研究解题的指导思想；国内一些学者还召开了波利亚数学思想的讨论会；关于波利亚解题观的研究正在深入；一批波利亚型的数学工作者在成长.所有这一切，使得数学解题的研究，摆脱了就题论题的狭窄天地，进入到规律探索的较高层次.
3．数学奥林匹克的异军突起
数学竞赛也是一种解题竞赛，这种活动的开展一方面为初等数学源源输入具有大学性质的、体现现代数学的思维方式，另方面又调动和活化了初等数学潜在的方法与技巧.这两方面的结合，就为解题研究输入了新鲜的血液.
数学竞赛里充满着眼花缭乱的“技巧”：构造、映射、递推、区分、染色、极端、对称、配对、特殊化、一般化、数字化、有序化、不变量、整体处理、变换还原、逐步调整、奇偶分析、优化假设、计算两次、辅助图表…….值得注意的是，这些“技巧”不是各别孤立的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，而是一种高思维层次、高智力水平的策略思想.这一切，又为解题研究提供了新鲜而丰富的素材.
数学竞赛所造就的教练员队伍，除个别为徒有虚名之外，其主力全是出类拔萃的解题专家或炉火纯青的技巧大师，这是解题研究的一支生力军.
就是说，数学竞赛的内容、方法和队伍正以排出倒海之势推动解题研究的发展（也推动初等数学研究的发展）.中国中学生在国际数学奥林匹克（IMO）中的成绩与优势，从一个侧面反映了我国解题研究的兴旺发达.
4．数学解题的研究正与思维科学的成果相结合
数学思维问题是数学教育的核心问题.斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出：数学教学是数学（思维）活动的教学.他在列举数学教育目的时，把发展学生的数学思维放在第一位.
由于钱学森教授的大力倡导，“思维科学”在我国已经发展为一门独立的学科，它给数学思维的研究提供了方向性的启示.近年来，关于数学思维的模式、数学非逻辑思维（包括形象思维、直觉思维），数学思维品质的培养（如广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性等）等方面的研究，正在揭示数学发现的秘密，同时，也为解题能力的提高指明了途径.这不仅深化了数学解题的研究，而且也促进了解题教学的发展.
5．解题研究的层次已经深入到策略思想的高度
我国的数学解题研究终于从一招一式的归类中摆脱出来，解题教学中的策略意识已经受到了重视，也提出了许多解题策略.在戴再平著《数学习题理论》中列举了8条，在任樟辉著《数学思维论》里又列举了10条.有些策略思想，如化归、RMI原理、以退求进，正难则反等还讨论得很深入、很细致，也很有数学特征，而不仅仅是“逻辑+数学例子”.
6．初等数学学术研究形成高潮
以初等数学为基本内容的中国解题研究，从80年代起，逐渐把初等数学的学术研究推向高潮，1991年8月在天津召开了首届全国初等数学学术交流会是一个重要的标志.之后，若干省市相继成立了初等数学研究会，多家刊物开辟了初等数学研究新成果专栏，多本初等数学研究著作陆续出版.研究初等数学已经成为许多数学家和数学教育家共同关心的一大课题.目前这种研究主要集中在3个方面.其一是继续搜寻初等数学的新结论，为初等数学的理论宝库增添新的财富；其二是阐发现代数学与初等数学的联系，为现代数学的发展提供深刻的背景；其三是既作为解题理论提炼的基本素材，又作为解题理论检测的实验园地.这三方面的工作，使得解题理论研究不再是一株只开花不结果的绿树.
7．解题学派初步形成
方法研究、竞赛研究、高考研究、思维研究、教法研究等各路大军都在“解题”的结合点上汇聚，组成一支浩浩荡荡的解题研究实干家群体，这是解题研究的一个极为壮观的成果.各路大军各有自己的目的和方向，但都离不开解题活动，这就为解题研究带来了多角度、多层次的贡献，同时也为解题研究带去了多角度、多层次的应用，使得解题研究更加五彩缤纷，充满朝气与活力.
二、解题研究的存在问题
解题研究中的主要问题是还存在着一些片面的认识与盲目的实践，我们指出4点.
1．取消论
认为随着数学内容的学习，数学知识的丰富，解题方法可以自然而然地掌握、解题能力可以自然而然地产生.解题的理论研究纯属多余的标新立异.一些连中学教材的习题都不能独立完成的空头理论家，更为这种观点提供了口实.而来自学生的情况却是，许多人学了课本内容不会解题，还有的人解了许多题却说不清思路.教师中也有类似情况.
解题理论须以解题实践为基础，但是，再丰富的经验也无法代替理论，并且，缺乏正确理论指导的实践常会流于盲目.
2．研究的误区
解题研究存在一些误区，首先一个表现是，用现成的例子说明现成的观点，或用现成的观点解释现成的例子.其次一个表现是，长期徘徊在一招一式的归类上，缺少观点上的提高或实质性的突破.第三个表现是，多研究“怎样解”，较少问“为什么这样解”.因此，尽管有丰富的解题资料，却始终未上升为系统的解题理论.
在这些误区里，“著书而不立说、撰文而不立论”，我们还看到，有些传统题目十几年乃至几十年无任何改进，从这本杂志抄到那本杂志，从老的资料抄到新的“编著”.在局部上，既有流行的错误变成了“佳题巧解”(例1，例2).又有正确的解法屡遭“更正”（如例3）.至于“凡偶函数都没有反函数”、“方程存在域扩大是方程增根的必要条件”、“空间中，一个角的度数大于它在任一平面上的垂直投影角的度数”等错误，在中学校园里更像癌症一样顽固.
例1 已知(z-x)2-4(x-y) (y-z)=0，求证x, y, z成等差数列.[1979年数学高考题]
讲解 自1979年以来，有10年的时间，人们一直认为构造方程
(x-y) t2+(z-x) t+(y-z)=0
是好主意，可就不知道构造方程
t2+(z-x) t+(x-y)(y-z)=0
更好.1989年我们指出了后一解法，可至今仍有报刊把麻烦的前一处理称为“巧解”.
例2 在实数范围内解方程 .[《数学通报》1979年12月号问题26]
讲解 有的解法认为“方程两边的函数互为反函数，因而交点在y=x上”.其实，这是一个流行的误解，虽然早有文章指出原理的错误，而至今仍有报刊不断重复同样的疏忽.
例3 求x2-2xsin 的所有实数根.[1956年北京数学竞赛题]
讲解 有这样的解法：设x为实数，则所给二次方程之判别式应大于或等于0
≥0，即 ≥1.
因为x为实数，故 ≤1，比较以上两式，即知 =1，从而 .
分别代入原式，有 或
得x1=1，x2=-1为所求的实数根.
本来，这种解法既精巧又合理，但是，40年来，已经反反复复有大批“读者来信”，在多家刊物上提出“更正”.理由是“原方程根本就不是二次方程”，不能用判别式.更有甚者，认为只能用配方法求解，这就把判别式与配方法对立了起来，不知道或不承认“判别式”是“配方法的结果”.
3．考试目的
将解题的研究归结为应付升学的考查，解题的规律被简单化为“对题型、套解法”，由此产生盲目的“题海战术”、“习题效应”和解题教学新八股：
这种模式，将智力开发等同于技艺训练，以考试为瞄准目标，以猜题、押题为主要手段，以做模拟题所带来的偶然因素去代替数学素质的提高，即使获得了高分也扼杀了能力.其大运动量强化训练的一个不幸后果是，使数学成为中学课程中最令人生畏或最不得人心的学科之一；另一个不幸后果是，大学新生对数学学习的热情消退，在他们的入学成绩中，强烈兴趣的含量不高，叫苦连天的成分不低.
4．理论与实践的脱节
有的同行很会解题，也解了很多题，但没有进行系统的总结，没有上升为理论.请他们谈谈如何解题时，他们只会说，“你把题目拿来”.另有的同行很会总结，可解题能力较差，只会在剪刀加浆糊上下功夫，所举的例子没有一个是新的，更没有一个解法是他自己的.历史召唤实干家与理论家的统一.
三、存在问题的原因分析
主要有4条原因：
1．解题研究缺乏解题理论的指导
正因为看不见理论的强有力指导，所以既有取消论，又有盲动；正因为缺少理论的指导，所以观点旧、层次低.
2．初等数学解题研究缺乏高等数学的指导
“高等数学的思想与初等数学的技巧相结合”已经提出很多年了，波利亚关于怎样解题的书，正因为体现了“高等数学问题的研究经验”，才写得那么引人入胜.但在许多情况下（包括师范院校初等数学研究课）这种结合仍然是貌合神离的两张皮.竞赛数学的崛起，才开始冲破这一封闭而沉闷的局面.
3．升学压力的干扰
由于升学压力，所以有解题研究的考试目的；由于升学压力，许多杂志不愿或不敢多占篇幅发表高水平的、真正理论研究的文章；为了保证发行量，不得不违心地登载既无观点又无新意的重复资料.
4．缺少争鸣气氛
真理越争越明，没有争鸣与再争鸣，没有批评与再批评，只能导致一谭死水.如果在数学中也有一个类拟“文学评论”的数学批评学，经常进行作者评论、文章（或书藉）评论、动向评论，那么，整个研究气氛将大大活泼而健康起来. |
